不動産屋を通さず契約書を交わしていない借家、穏便に退去してもらう方法とは？｜専門家に無料相談できる賃貸経営Ｑ＆Ａサイトはお悩み大家さん

非常に難しい内容ですね。
サムさんの仰る通り、立退きに対する対応は間違えていないと思います。

しかし
入居者夫婦にしてみても、次の物件探しは高齢のため容易じゃありません。
サムさんが強く出れば、ご主人は益々意固地になるでしょう。
奥様との話し合いでまとまらなければ、第三者（弁護士）の介入が必要かと思います。

交渉次第だと思いますが、地震でもあると倒壊が心配であることが退去の理由の主に話をすすめ、
奥様の回答次第と更にむこうの不満な点を直し手渡しました契約書をさらに不満な点を訂正する、
転居費用を上げる提案等々色々と検討出来ることはまだまだあるとは思います。

しかし年齢的にもいまさら転居をするつもりもないとも思います。

奥様の話がすすめば進展するようにも思いますが、双方冷静に話しをして
時間をかけて妥協点を見付け解決する方法が良いと思います。
すべてに書面上なにもないので決まったことは必ず書面にしたほうが良いです。

但し、家賃受け取り拒否は逆効果だと思います。

書面を取り交わしていなくても賃貸借契約は成立しており、家賃等は実態に即した内容になると思います。基本的に強行規定の借地借家法が優先し、その他は民法が前提となります。
立退きについては借地借家法第２８条による正当事由がなければ強制的に行うことはできません。
立退き料などの条件提示とともに辛抱強く立退き交渉をしていく必要があるでしょう。

明け渡す気のない入居者に、明け渡しを承諾して貰う事は非常に難しいことです。
穏便に話を進めるためには、根気よく何度もお話しをすることが必要ですが、当事者同士でお話しをすると直接金銭のお話しをせざるを得ませんので、第３者を立ててお話しすることをお奨め致します。

法律上は、期限の定めのない普通借家契約の扱いでしょう。
大きな方向性は、しつこくしつこく交渉して退去してもらうか、
その道の専門家にお金を払って立ち退きしてらうかのどちらかです。
自分でやる時間や手間やストレスを避けたいなら後者で検討してください。