従兄弟に貸したマンションで口約束した退室時のクリーニングの負担はしてもらえる？｜専門家に無料相談できる賃貸経営Ｑ＆Ａサイトはお悩み大家さん

契約書にクリーニングの金額等、具体的な記載がない限り、借主にクリーニング費用を請求するのは困難です。但し、借主による汚損や破損の場合を除きます。
いずれにしましても、ご親族間ということですので、遺恨を残さないよう話し合いのうえ妥協点を見つけることが望ましいと思います。

自主管理オーナーさんのための不動産会社

国交省が出している原状回復をめぐるトラブルとガイドライン（通称ガイドライン）では、通常の清掃がしてある場合、クリーニング代に関する特約がなければ、それ以上の清掃にかかる費用は請求できない事となっています。しかし、通常は不動産会社が仲介して契約をすれば、それは当たり前のように入っている特約ですので、これを拒否する人も少ないです。

既に退去が決まっているということなので、原状回復費用は退去後に伝えるにしても、クリーニング費用は先に通常のクリーニングでいくらいくら位かかるか、普通のクリーニングで落ちない汚れがある場合は追加料金がかかることも含めて伝えて、念を押しておくと良いかもしれません。

ビジネスとなるとここで念書などの書面とするのですが、親族同士の場合は互いの関係性もあるでしょうから、「最低限は負担してね。」といった感じで柔らかく確認をしておくとよいでしょう。

契約書にクリーニング費用の負担がないのにどのように口約束したかによると思います。
口頭で約束されているのであれば金額を提示してみてから対応を検討してみてはいかがでしょうか。