物件の再契約するはずが、何か月も契約書が送られてこない！どう対処すべきか？｜専門家に無料相談できる賃貸経営Ｑ＆Ａサイトはお悩み大家さん

不動産会社に契約締結含む管理業務を委託しているのであれば、おっしゃる通り、債務不履行にはなりうる対応でしょう。ただ、だからとして、管理料金の不払いが当然に正当化されるというわけではありません。それによって損害が発生しているとすれば、その損害を請求できる可能性はあります。

ただ、状況的に不動産会社の対応の理由や意図が分かりかねるところです。どのような理由で契約締結を進めたいなのか。まずは事情や理由を確認するのが良いでしょう。どのような対応をとるにしても、前提事実の確定が有益にはなります。
管理費の支払いをとめるという強行手段は実行するのは慎重にされたほうが良いと思いますが、一方であくまでも交渉材料として、このような対応をされるのであれば、債務不履行であり、管理費も支払えないと通告し、相手を動かす交渉材料とすることは考えられるでしょう。

問い合わせに対して回答をしないというのは、管理委託義務上の報告義務違反でしょう。
その管理会社にはかなり問題があるように思われますので、弁護士に一度面談の上で相談することをお勧めします。

弁護士から管理会社に対し、再契約の状況について問い合わせをし、もし再契約の手続が適切になされておらず、定期借家契約が普通借家契約に転換してしまっているような場合には、管理委託契約の解除と損害賠償を請求することが考えられます。

管理料金の不払いは逆に委託者の責任になりますので、やめた方が良いでしょう。

なぜ再契約が進んでいないのか原因を確認したほうが良いと思います。

現状は再契約が進んだようなので良かったです。
新しいの定期借家契約は継続されますので管理委託契約が解消されるんであれば5年後の再契約はどちらで対応するか検討しておいたほうが良いと思われます。